Wir hatten uns beim letzten Mal am Dienstag mit den Flächenträgheitsmomenten beschäftigt

und insofern damit was passiert, wenn ich das Koordinatensystem verschiebe.

Heute wollen wir uns anschauen, was passiert, wenn ich das Koordinatensystem drehe.

Das heißt, wir haben hier irgendwie unsere Querschnittsfläche und haben hier ein Koordinatensystem

YZ im Schwerpunkt.

Das wollen wir mal annehmen und wir führen ein zweites gedrehtes Koordinatensystem ein,

das jetzt hier um einen Winkel alpha gedreht ist und das nennen wir hier Eta-Ceta.

Das ist der Winkel alpha hier oben und der gleiche Winkel alpha ist natürlich dann auch hier.

Wir haben die Flächenträgheitsmomente IYY als das Integral Z² DA, wenn das die Querschnittsfläche A ist.

Wir hatten IZZ als das Integral Y² DA und IYZ als Minus das Integral Y mal Z DA.

Jetzt kann man sich natürlich fragen, wie sehen die entsprechenden Größen aus bezüglich Eta und Ceta?

Also wie würde ein I Eta Eta ein I Zeta Zeta und ein I Eta Zeta aussehen?

Gut, das kann man jetzt relativ leicht ausrechnen.

Das ist ein bisschen Schreibarbeit.

Man schreibt sich die Koordinatentransformation hin und zwar gilt, dass eine Eta-Koordinate

Y Cosinus alpha plus Z Sinus alpha ist und Z Eta ist Minus Y Sinus alpha plus Z Cosinus alpha.

Das kann man sich in einer Drehbeziehung, also einer Rotation hier um den Winkel alpha,

das kann man leicht überprüfen.

Bei einer Rotation steht immer Cosinus alpha auf der Hauptdiagonalen, Sinus alpha auf der Nebendiagonalen.

Und die Vorzeichen kann man sich überlegen für alpha gleich Null fällt Eta mit Y zusammen und Ceta mit Z.

Dann ist für alpha gleich Null ist halt Sinus null, Cosinus alpha jeweils eins, Eta ist gleich Y, Ceta ist gleich Z.

Das ist offensichtlich richtig.

Und für alpha gleich 90 Grad bzw. Pi halbe, da ist der Cosinus null und der Sinus ist eins.

Und dann sieht man, dass das tatsächlich das Eta gleich dem Z ist. Da ist das Null und das ist eins, Eta ist gleich Z.

Und das Ceta, das hat sich hier hochgedreht und ist dann Minus Y.

Das zeigt in die entgegengesetzte Richtung, also muss man hier ein Minuszeichen spendieren.

Also kann man, wenn man die Vorzeichen da vor dem Sinus sich nicht merken kann.

Das hängt noch vom Koordinatensystem, also es ist besser, man überprüft das halt.

Die sieht nicht immer so aus. Manchmal steht das Minuszeichen auch oben, je nachdem was oder in welche Richtung man gedreht hat.

Aber durch so eine Überlegung kann man das immer relativ leicht überprüfen.

So, jetzt setze ich das einfach stur ein, indem ich die Definition hinschreibe.

I Eta Eta wäre ja ein Ceta-Quadrat dA.

Und für Ceta-Quadrat setze ich jetzt diesen Ausdruck ein.

Dann habe ich hier, und ich sortiere das jetzt gleich, und ich fange mit dem Term an.

Cosinus-Quadrat, aber das ist ja von dem Integral unabhängig, das ist ja ein fester Winkel.

Dann habe ich hier das Integral Z-Quadrat dA.

Dann habe ich diesen Term zum Quadrat.

Das ist plus Sinus-Quadrat alpha mal das Integral Y-Quadrat dA.

Und ich habe hier minus zwei mal Sinus-Alpha Cosinus-Alpha das Integral Yz dA.

So, jetzt sieht man natürlich wieder die Terme.

Hier das Integral Z-Quadrat dA ist I Yy.

Das ist Izz und I Yz ist minus I Yz dA davor.

Sodass ich das jetzt auch hinschreiben kann als I Eta. Eta ist gleich I Yy mal Cosinus-Quadrat alpha plus Izz

mal Sinus-Quadrat alpha plus dieses Minus mal D-Minus 2 I Yz Sinus-Alpha Cosinus-Alpha.

Das kann ich jetzt für die anderen Terme genauso machen.

Also ich kann jetzt in dem Izz hier das Y-Quadrat, Entschuldigung, das I Eta Zeta aufschreiben als Eta Quadrat dA.

Setze für Eta das ein und für die gemischten Terme genauso.

Dann folgt daraus, dann würde ich das jetzt nicht jedes Mal ausschreiben.

Analog.

Dazu folgt das I Zeta Zeta durch Einsetzen als Izz Cosinus-Quadrat alpha plus I Yy Sinus-Quadrat alpha.